Ja dumayu, chto esche ne pozdno predlozhitj temu, svjazannuyu s dvizhenijami ploskosti (dlja 10-12 klassov). Ponachalu mne kazalosj, chto nuzhno pogovoritj o vzaimosvjazi kompleksnoy ploskosti i dvizheniy, t.e. obsuditj takie voprosy, kak formula povorota tochki p vokrug nachala koordinat (ja imeyu v vidu formulu f(p) = ap, gde |a|=1 i arg a = ugol povorota), parallejnogo perenosa na vektor v (f(p) = p+v), povorota vokrug proizvoljnoj tochki c kompleksnoy ploskosti, simmetrii otnositeljno prjamoy ax+by=c, i t.d. No potom ja podumal, chto eto vse hotj i polezno, no, mozhet, skuchnovato.

Drugaya vozmozhnaya tema, kotoraya prishla mne v golovu, pointeresnee. Naskoljko ja ponjal iz listkov s zadaniyami, na zanyatiyah bylo upomjanuto obschee opredelenie dvizheniya: preobrazovanie ploskosti, sohranyayuschee rasstojanija. Byli rassmotreny neskoljkov tipov takih preobrazovaniy: paralleljnyi perenos, povorot, osevaya simmetrija. Interesno to, chto ljuboe dvizhenie est' libo odno iz vysheperechislennyh treh preobrazovaniy, libo osevaya simmetriya s posleduyuschim paralleljnym perenosom. Fakt neochevidnyi, esli ishoditj toljko iz opredelenija dvizhenija. A ne dokazatj li eto utverzhdenie na zanyatii?

Ja porazmyshljal nad etoy zadachey i vrode nashel (nadejusj, vernoe) reshenie, na 99% procentov opirayuscheesja lishj na shkoljnuyu geometriju. A tak kak deti znakomy s kompleksnoy ploskostyu, to im ono dolzhno bytj dostupno na vse 100%.

Vot kratkoe soderzhaniya dokazateljstva. Rassmotrim mnozhestvo tozhek, fiksiruemyh nekotorym dvizheniem F, t.e. mnozhestvo tochek X takih, chto F(X)=X.

1. Esli F fiksiruet tri tochki A,B,C, ne lezhaschie na odnoy pryamoy, to F fiksiruet kazhduyu tochku ploskosti.

2. Esli F fiksiruet razlichnye tochki A i B, lezhaschie na pryamoy l, to F fiksiruet kazhduyu tochku pryamoy l. Esli F pri etom ne fiksiruet nikakuyu druguyu tochku ploskosti, to F est' simmetrija otnositeljno l.

3. Esli F fiksiruet rovno odnu tochku ploskosti, to F est' povorot vokrug etoy tochki.

4. Esli F ne fiksiruet ni odnu tochku ploskosti, to F est' paralleljnyi perenos ili kombinaciya osevoy simmetrii i paralleljnogo perenosa.

Pri dokazateljstve poslednego punkta sleduet rassmotretj dvizhenie F', sostoyaschee iz dvizhenija F s posleduyuschim paralleljnym perenosom na nekiy vektor BA, gde tochki A i B udovletvorjajut B = F(A). Togda F perevodit A v B, a poetomu F' perevodit A v A, t.e. F' fiksiruet kak minimum odnu tochku ploskosti i javljaetsja... sm. punkty 1-3. To, chto kombinacija povorota i perenosa daet povorot, mozhno pokazatj, ispoljzuja kompleksnuyu ploskostj.

Ladno, ja uvleksja izlozheniem reshenija. Popozzhe ja prishlyu v uchitel'skuyu .doc fail s bolee prodrobnymi kommentarijami (kotoryi, navernoe, ne stoit razmeschatj poka na stranice, a to deti, kotorye kak vsegda ne v klasse, uznayut slishkom mnogo). Toljko vot odnogo zanjatija mozhet ne hvatitj na eto delo (razve chto rasskazatj im reshenie bez ih uchastija). S drugoy storony, eta zadacha v bukvaljnom smysle zavershaet rassmotrenie dvizheniy ploskosti.

Denis

Вернуться в учительскую