|
|
||||||||
| ||||||||
Vsem privet!U menja voznikla mysl' po povodu temy zaklyuchiteljnoy kombinatornoy lekcii v 8-9 klassah. Zadacha: kazhduyu tochku ploskosti neobhodimo pokrasitj v odin iz N cvetov tak, chtoby lyubye dve tochki, udalennye drug ot druga na rasstoyanie 1, byli pokrasheny v raznye cveta. Dlya kakogo naimenjshego N eto mozhno sdelatj? Zadacha izvestnaya, do sih por nereshennaya (po-moemu, nad ney dumayut uzhe 45 let). Na lekcii zhe mozhno rasskazatj prakticheski vse, chto izvestno pro etu zadachu, predvariteljno predlozhiv detjam podumatj i vyskazatj svoi soobrazheniya. Vnachale, ja dumayu, nado datj im poreshatj zadachu: pustj predlozhat svoi varianty raskraski s kak mozhno menjshim N. Zatem nuzhno ih podvesti k idee razbieniya ploskosti na kletki s diagonalju dlinoy 1, prodemonstrirovatj raskrasku s 9 cvetami (rassmatrivaya kvadraty 3x3 kletchatoy ploskosti i raskrashivaya kazhduyu kletku kvadrata v svoj cvet). Potom mozhno poprositj ih naiti raskrasku, ispoljzuyuschuyu 7 cvetov (osoboe vnimanie sleduet udelitj tomu, v kakoy cvet pokrashena kazhdaya tochka na granicah kletok). Poluchennaya raskraska v 7 cvetov - nailuchshaya iz izvestnyh na segodnyashniy denj. K sozhaleniyu, dokazateljstva togo, chto 7 - naimenjshee vozmozhnoe znachenie N, net. Teperj mozhno podumatj i o nizhney grani: dlja kakih N iskomaya raskraska tochno ne suschestvuet? Konechno zhe, dlja N=1 raskraski net. A dlja N=2? Eto dovoljno prostoe uprazhnenie na princip Dirihle: nado rassmotretj praviljnyi treugoljnik so storonoy 1, a tochnee, ego vershiny. Poslednee zadanie: dokazatj, chto ne suschestvuet iskomoy raskraski dlja N=3. Eta zadacha slozhnee, chem dlja sluchaya N=2, no i ona reshaetsja s pomoschju principa Dirihle: Pustj ABCD - romb so storonoy 1 i uglom 60 gradusov; pustj AB'C'D' - romb, poluchennyi iz ABCD povorotom vokrug tochki A, takoy, chto CC'=1. Togda imeem sleduyuschie edinichnye rasstoyaniya: AB=BC=CD=DA=BD=AB'=B'C'=C'D'=D'A=B'D'=CC'=1 Predpolagaem, chto kazhdaya iz tochek ploskosti pokrashena v odin iz 3 cvetov i poluchaem protivorechie, rassmatrivaja tochki A,B,C,D,B',C',D'. Takim obrazom, iskomoe N ravno 4,5,6 ili 7. Kakoe iz etih chisel javljaetsja otvetom k etoy zadache - do sih por neizvestno. V blizhayshee vremya postarajusj takzhe pridumatj temu dlja 10-12 klassov. Esli poluchitsja, napishu. Esche mne ochenj hotelosj by pouchastvovatj v rabote kruzhkov (kruzhek :), naprimer, v sostavlenii zadach. Poetomu nadejusj, chto skoro pojavjatsja temy buduschih zanyatiy. |
